Может ли несовершеннолетний двоюродный барт поехать на море на неделю в сопровождении брата (22 года)

Можете ехать и без доверенности. по закону она не требуется, никого может и не заинтересовать с кем несовершеннолетний путешествует по стране. тем не менее, действуя в интересах ребёнка и в целях его безопасности, любой представитель органов правопорядка или официальное лицо, могут попросить сопровождающего предъявить родительское разрешение на путешествие ребёнка с этим человеком.
а, если что-то произойдет и потребуется госпитализация, либо сведения о ребёнке нужны для его розыска/опознания, если потеряется ...либо требуется подтвердить отношения ребёнка и сопровождающего его взрослого при заселении в отель или пансионат, при регистрации на авиарейс или посадке в поезд.
поэтому лучше иметь нотариально удостоверенное согласие на сопровождение... достаточно письменного согласия, хотя бы одного родителя.