Как вернуть деньги за аренду квартиры

Поскольку вы не понимаете,
какие права и обязанности у сторон по заключенному вами с кем-то договору, идите с договором и пр. доками (финдоки) к юристу на очную консультацию.
платят люди по договору, а не "как девушка сказала".
какие вам услуги по договору обязаны были предоставить и предоставили и вы за них заплатили- непонятно из вашего текста. но с больш. степенью вероятности это информ. -консульт. услуги, проект договора вам составили - это и есть услуга, еще что-то, чего вы вообще не поняли, но заплатили.
если вы сами нашли жилое помещение и наймодателя, то незачем было идти в это агентство вообще, нужно было идти к юристу (можно и к нотариусу- в нотар. форме договор заключить) для составления и оформления договора найма жилого помещения, и потом этот договор заключить, т. е. подписать сторонам,
т. е вам (наниматель) и собственнику квартиры (наймодатель).
а вы напихали денег неизвестно за что третьему лицу, а договор найма так и не заключили с собственником жилого помещения.