Подскажите, при написании завещания, кто является собственником жилья.

Вы по-моему смутно представляете себе что такое завещание. это ваше распоряжение относительно вашей собственности. оно начинает действовать после вашей смерти, а до того времени квартира или другая собственность продолжает оставаться вашей. более того, вы можете передумать и написать другое завещание и еще много раз передумать, или вообще уничтожить завещание. жизнь штука сложная.
если же вы хотите чтобы ваша собственность стала чужой без права распоряжаться ею до момента вашей смерти, составляйте договор ренты.