Здравствуйте. подскажите, пожалуйста, есть ли закон, обязывающий дам посещать только женские туалеты, а мужчин только м?

На каждый чих закон не предусмотрен. и никто не запрещает, например, женщине воспользоваться свободным мужским туалетом, когда женский занят, и наоборот. а вот если ломиться в туалет, когда им пользуются представители противоположного пола, то могут привлечь к ответственности за мелкое хулиганство.