Могут ли требовать штраф за не подписание документа?

1-вы заполняли анкету, а не договор. анкета ни к чему не обязывает. смотрите название документа.
2-договор подписывается двумя сторонами (а не одной) и считается заключённым когда подписан обеими сторонами. договор включает в себя ответственность сторон за те или иные действия. договор (как правило) в двух экземплярах. в случае конфликта вы предъявляете суду ваш экземпляр договора (чтобы не было разночтений).
3-логически - они требуют ответственности за неподписание, следовательно они и после подписания (если вы подпишете) могут уничтожить подписанный документ, затем составить новый такой же документ, в котором не будет вашей подписи, а потом предъявить этот не подписанный в качестве доказательства, что вы не подписали, то есть нарушили условие. это же абсурд. у них ничего не получится. не поддавайтесь на эти внушения. расчитано на то, что вы испугаетесь и заплатите.