Могут ли завести уголовное дело, если никаких повесток я не получал и не подписывал?

Не только могут, но и должны.

ук рф статья 328. уклонение от прохождения военной и альтернативной гражданской службы

1. уклонение от призыва на военную службу при отсутствии законных оснований для освобождения от этой службы -
наказывается штрафом в размере до двухсот тысяч рублей или в размере заработной платы или иного дохода осужденного за период до восемнадцати месяцев, либо принудительными работами на срок до двух лет, либо арестом на срок до шести месяцев, либо лишением свободы на срок до двух лет.