Детектив а закончил дежурство, оделся, и нaчал спускаться по лифту из здания. в это время детектив б зашёл в здание...

1 - русский язык. по лифту не спускаются. если "по", тогда по шахте лифта. лифт - транспортное средство и либо в нём, либо на нём. то есть "в лифте" или "на лифе"
2 - пост это место и пост сдают и принимают на месте словами "пост сдал" и "пост принял"
3 - дежурство сдают, передавая текущие дела, вводя в курс происходящего по службе.
это о технике и порядке несения службы.
гораздо хуже если преступление совершено на меже участков и труп лежит ногами на территории одного участка, а головой на территории другого участка. в этом случае не понятно как определить какой участок должен расследовать преступление - тот на территории которого стоял ногами труп при жизни и считать, что преступление совершено на этой территории или тот на территории которого находится голова трупа так как голова является главным идентификатором трупа.
по вашему вопросу - формально выезжает тот, который несёт службу пока не сдал дежурство, но чисто по человечески можно тут же передать дежурство по несению службы, смениться на посту "пост сдал/пост принял" и начать выполнять служебные обязанности. и ещё - если никого не было в кабинете - кто принял звонок? если звонок принял дежурный по участку, то есть время сдать/принять смену. если позвонили на мобилу, тогда ехать тому, кому позвонили.
варианты таки есть!

дтп с наездом на пешехода.
лейтенант диктует протокол, сержант пишет:
- тело трупа находится на проезжей части дороги. записал?
- да, товарищ лейтенант.
- голова трупа находится на тротуаре. записал?
- товарищ лейтенант, а как правильно писать "тратуар" или "тротуар"
лейтенант задумался, потом ногой сталкивает голову трупа на проезжую часть
- пиши - тоже находится на проезжей части дороги...

оказывается из любой ситуации можно найти достойный выход.