Подскажите, имею ли я право выписать бабушку из ее квартиры и прописать на свою площадь, а себя прописать на ее площадь,

Да, имеете право предоставить бабушке право пользоваться жилым помещением, находящимся в вашей собственности с регистрацией в этом помещении. Аналогично и бабушка. Если каждый из вас единственный собственник и единственный зарегистрированный в настоящее время. Если нет, то придётся получать согласие всех собственников. Только заявления подаются о предоставлении права пользования жилым помещением (собственником) и о регистрации по месту жительства (регистрируемым) одновременно по новому месту регистрации. Со старого места с регистрации снимаются автоматически.