Не могу найти свой паспорт. Утром надо вылетать по делам.

Какая-то справка не подойдёт, официально разрешённой заменой будет только справка из полиции об утере паспорта + ещё один документ с фото. Но не факт, что успеете оформить утром до вылета, так что Вам остаётся только надеяться на доброту работников паспортного контроля. Зарегистрироваться на рейс Вы можете на сайте Вашего авиаперевозчика, тогда, если всё вместить в ручную кладь, останется уговорить только одного человека - сотрудника паспортной службы перед зоной досмотра. Если без багажа никак, то ещё надо будет уговорить пропустить Вас сотрудников авиакомпании на стойке оформления багажа (хотя, если есть карта их постоянного путешественника, то часто достаточно только её показать, паспорт они особо не спрашивают). Знаю случай, когда знакомые уговорили пропустить их по водительскому удостоверению, но это, конечно, исключение, а не правило. Официально Вам обязаны отказать.