Пишу участковому заявление на предоставление характеристики. в какой срок он должен мне её предоставить?

В его обязанности входит ответить вам в течение месяца.
в его обязанности не входить писать вам характеристики;
этого нет ни в задачах, ни в формах деятельности, ни в обязанностях. с бооольшой натяжкой можно притянуть сюда п. 37.4. так что ууп в течение месяца может легко и непринуждённо вас послать.
источник: "наставление по организации деятельности участковых уполномоченных полиции", 2013 г.