Может ли собственник 1/4 квартиры продать свою часть, если там прописан несовершеннолетний ребёнок (не его ).

Не часть, а долю свою может продать с соблюдением ст. 250 гк рф.
т. е. продаст либо сособственникам, либо посторонним лицу.
во втором случае- обязат. нотариал. форма договора.
найдется ли покупатель, желающий купить 1/4 долю в квартире, где еще три сособственника- нам неизвестно. но вероятность крайне мала.