Должны ли сделать перерасчет оплаты за воду, если был просрочен старый счетчик?

Вы проявили инфантильность, безответственность, неблагоразумность.
следить вы должны сами когда срок поверки счетчиков- по паспорту счетчиков- там это написано. обычно это 6 лет для хол. воды и 4 для горводы, но м. б. и иначе.
вы должны были понимать, что такое поверка.
найти в своем городе компанию. кот. проводит поверку на дому без снятия счетчиков. и если счетчики прошли поверку, продолжать ими пользоваться до срока следующей поверки. если не прошли. то менять на новые.
нужно знать порядок по правилам оказания комм. услуг.
постановление правительства рф от 06.05.2011 n 354 (ред. от 25.12.2015) "о предоставлении коммунальных услуг собственникам и пользователям помещений в многоквартирных домах и жилых домов" (вместе с "правилами предоставления коммунальных услуг собственникам и пользователям помещений в многоквартирных домах и жилых домов")
http://www.consultant.ru/document/cons_doc_law_114247/
-------------
и п. 59 например.
по которому. если прошел срок поверки как начисление происходит.
и далее ниже в п. как поступают, если счетчик прошел поверку- можно подать показания и просить перерасчета по счетчику. ибо он поверен и нормал работает.
вам нет оснований делать перерасчет, ибо ваш счетчик старый поверку не прошел, и вообще не проходи. вы просто его сняли и поставили новый.
------
максимум, что вы можете- проверить по п. 59 постановления правильно ли вам начисляли в период. когда срок поверки счетчика прошел и до ввода в эксплуатацию нового счетчика.