Когда заявление в учреждение направляется заказным письмом с уведомлением, как автор получает его номер на руки?

При получении ответа таким же путем. а зачем вам номер входящего? и зачем с обратным уведомлением? можно заказным без уведомления отправить и отслеживать получение на сайте почты россии по идентификатору, указанному в чеке об отправке, информацию можно заскринить и распечатать. непредоставление ответа в установленный срок с момента получения, с учетом срока его почтовой пересылки, можно считать как отказ в ответе... либо уже со вторым экземпляром, чеком и скрином с сайта почты ехать и ставить входящий номер и дату получения.