Могу ли я заказать экспертизу квартиры, не являясь ее собственником, не имея на нее технического паспорта?

Просто узнать для себя - можно, в виде консультации. получить юридически значимый документ, который пройдет проверку в суде или прочих инстанциях - нет.
и дело тут не в том, что для экспертизы требуется множество данных, которые есть только в техпаспорте на квартиру. в действующих федеральных стандартах, которые подлежат применению всеми экспертами российской федерации, записано - к отчету должны быть приложены копии правоустанавливающих документов и документов технической инвентаризации, заверенные в установленном порядке.
нет документов - не выполнено обязательное требование стандартов. требование не выполнено? значит отчет не соответствует требованиям законодательства рф и дальше можно его уже не рассматривать.