Подскажите, могла ли свекровь или сын прописать внука в своей квартире!

Свекровь не могла, нет полномочий.
регят граждан по месту жительств или месту пребывания (на основании заявлений граждан) уполном. органы- территор. орган мвд.
на вселение несоверш. по месту проживания родителя не нужно согласия собственника или нанимателя.
т. е отец ребенка мог подать заяву на регистр. по своему месту жительств своего ребенка.
и мать ребенка могла тоже.
вот мать ребенка пусть и регит своего ребенка по своему месту жительства, подав соотв. заявление, раз отец ребенка и его мать (свекровь) включили дурку.
они не хотят.
они опасаются (безосновательно в части, и в части- основательно), что посредством регистр. ребенка в этой квартире пострадают их имущественные, жилищ. права, возможны в будущем при изменении семейных отношений проблемы в признанием ребенка прекратившим/утратившим право пользования, выселении.
и не надо матери ребенка лезть туда, раз не хотят ее ребенка там.
мать ребенка должна понять, что от регистрации ребенка имущественных прав (прав собственности) у ребенка, у нее- не возникнет.
поэтому глупость - выключить, а разумность и гордость- включить.