Можно ли сделать небольшое видео или нарезку видео в храме или в доме молитвы и выложить это в интернет в свой влог?

Храм, безусловно, является общественным местом, но, как и в больнице, например, вы можете снимать стены, интерьер, но не людей, поскольку это уже их частная жизнь. так что все - только по согласованию с настоятелем храма и теми людьми, которых будете снимать.
статья 152.1 гк рф охрана изображения гражданина 1. обнародование и дальнейшее использование изображения гражданина (в том числе его фотографии, а такжевидеозаписи или произведения изобразительного искусства, в которых он изображен) допускаются только с согласия этого гражданина.
статья 152.2 часть 1 гк рф если иное прямо не предусмотрено законом, не допускаются без согласия гражданина сбор, хранение, распространение и использование любой информации о его частной жизни, в частности сведений о его происхождении, о месте его пребывания или жительства, о личной и семейной жизни.