Есть ли необходимость предоставлять в тсж копию свидетельства на квартиру по их запросу?

Подавайте.
п. 9 ст. 138 жк рф
товарищество собственников жилья обязано:
...
вести реестр членов товарищества и ежегодно в течение первого квартала текущего года направлять копию этого реестра в органы исполнительной власти субъектов российской федерации, указанные в части 2 статьи 20 настоящего кодекса;
...
http://www.consultant.ru/document/cons_doc_law_51057/22306385903d7c3db33f9013d62f6fe86a8075d0/