Подскажите что делать в этой ситуации

Карина, очевидно у вашего балкона нарушена гидроизоляция на стыке балконной плиты и стены дома, поэтому талый снег и подтекает по стене дома. это вызывает коррозию металла и может привести к обрушению балкона.
балконные плиты являются общедомовым имуществом (см. пост. пр-ва 491 п. 2 "в" ) и ремонтировать и восстанавливать их обязана управляющая компания ( ук) . за это вы ежемесячно платите по строке «содержание жилья». а потому вы имеете полное право требовать от ук ремонта вашего аварийного балкона.
при обслуживании общедомового имущества ук обязана исполнять пост. госстроя рф от 27 сентября 2003 г. n 170 "об утверждении правил и норм технической эксплуатации жилищного фонда" ( в частности, по балконам см. пункты 4.2.4.1 – 4.2.4.3 и 4.2.1.5 – 4.2.1.7) , а также пункты 8, 24 части 2 статьи 2 федерального закона от 30 декабря 2009 г. n 384-фз "технический регламент о безопасности зданий и сооружений".
кроме того, есть решение верховного суда рф от 9 ноября 2011 г. n гкпи11-1727, где четко указано, что балконы - общедомовое имущество, а следовательно это зона ответственности ук.
http://www.garant.ru/products/ipo/prime/doc/58104528/
вам следует обратиться с заявлением в ук, где просить отремонтировать ваш балкон. заявление писать в 2-х экз и один с отметкой о приеме оставить себе. работа эта не сложная и если позволяет погода, то сделают быстро. на бездействие ук жалуйтесь в областную госжилинспекцию.
желательно, чтобы ваши соседи с 7 и 8 этажей написали такие же заявления.