Нужно ли маме выписываться из своей квартиры которую она мне дарит, чтобы оформить дарение? Она будет там

Нет, не нужно. Единственное, что я бы посоветовала Вашей маме, чтобы в договоре дарения было определено ее право пожизненного проживания в этой квартире. А то у нас очень часто от свалившегося дара мозги отключаются напрочь и сразу хочется получить за "подарок" много денег, а о родителях тут же забывается.