Имеет ли право мать собственник дома, в котором я прописан, выкидывать старую мебель, которая досталась от бабушки, -

Да! имеет право мама ( собственник жилья ) выгнать, если тебе более 18 лет..
согласно ч. 4 ст. 31 жилищного кодекса российской федерации, в случае прекращения семейных отношений с собственником жилого помещения право пользования данным жилым помещением за бывшим членом семьи собственника этого жилого помещения не сохраняется, если иное не установлено соглашением между собственником и бывшим членом его семьи.