В российских районных судах каждый судья может рассматривать и уголовные, и административные, и гражданские дела?

Да, могут.
в маленьких городках в районных судах по 3-4 судьи.
один из них председатель. допустим, один в отпуске, другой заболел, третьему заявили отвод - рассматривать дело будет оставшийся. нет такой роскоши, чтобы специализироваться - все рассматривают.
в крупных городах, где в суде 10-15 судей, есть возможность специализации.
но сейчас распределение дел происходит по электронной системе, так что - к кому попадет.