Квартирант требует расписки каждый раз когда даёт сумму за комнату. Договор с ним заключён. Кажется странным.

Это безграмотные люди считают это нонсенсом. А их в стране подавляющее большинство, включая Вас, уж извините. Квартирант ваш поступает совершенно правильно, ваши расписки это доказательство того, что он оплатил вам за соответствующий месяц и долгов перед вами не имеет. Более того, он вправе даже не платить, пока вы не дадите ему подтверждающий документ об этом ( расписку).Не беря такой расписки он становится заложником вашей порядочности или непорядочности, так как никто не знает- а вдруг вам придет в голову подать иск в суд о взыскании якобы неуплаченной суммы, в этом случае, при отсутствии расписок у него не будет шансов доказать, что он уже оплачивал. Было время я сама когда-то снимала квартиру, так там никаких вопросов у хозяев на возникало по поводу расписки-сами приходили с уже заранее заготовленной и просить не надо было. Правда, люди были грамотные, дипломаты, все понимали.