Обязан ли я платить долг стары хозяев?

В соответствии со ст. 153 ЖК РФ собственник несет обязательства по оплате коммунальных услуг с момента возникновения права собственности, то есть в вашем случае с 10 января. Если с вас требуют чужие долги, соорудите болванам штраф по ст. 14.7 КОАП РФ, пишите жалобу в прокуратуру и Роспотребнадзор. Судом вы их не напугаете, а вот штрафы хорошо прочищают мозги.