Бывший муж хочет сдать свою половину квартиры. У меня двое несовершеннолетних детей. Как я могу этого не допустить?

Очень просто - не дать согласие на это, не разрешить ему сделать это ! Будет хуже, если бывший муж захочет продать принадлежащую ему долю квартиры ! Вы имеете преимущественное право покупки ( ст.250 ГК РФ ), однако, если вы в течение месяца после вашего извещения откажетесь от покупки, он может продать долю данного жилого помещения другим лицам ! Более того, принадлежащую бывшему мужу долю квартиры он может подарить другим лицам без вашего согласия и извещения