Нужно ли иметь документ на икону?

Расстояние - не препятствие. Если храм хочет вернуть святыню и вы не против, но не хотите нести расходы по пересылке - эти расходы может (если захочет) взять на себя храм... В отношении права собственности на такую вещь, как икона - такое право в РФ презюмируется. Сказанное означает, что собственником считается то лицо, которое обладает вещью, пока не доказано иное. Тот факт, что икона прежде принадлежала кому-то другому лицу не является доказательством наличия у того лица права собственности в настоящее время, если только не доказано, что вещь выбыла из собственности того лица незаконно (т.е. должно быть доказано, что именно данная икона была похищена, у того лица, получена от него путём обмана или злоупотребления доверием (кража, грабёж, разбой, мошенничество и т.п.).