Имеет ли мать по закону жить в той квартире где прописан ее несовершеннолетний ребенок?!

Нет, поскольку место жительства несовершеннолетнего является место жительство родителей (одного из них). Наличие родственной связи (мать сын) не является основанием для приобретения права на жилье матерью. Поэтому мать должна жить у себя с ребенком, а когда ребенку будет 18 лет он сам будет выбирать своё место жительства. может и пойти по месту своей регистрации.