Могу ли я через суд получить сумму за съем жилья (официальный договор).

Нет, вряд ли из этого будет толк. у вас дду. сторона нарушившая свои обязанности по этому дду возмещает другой стороне неустойку. ваш договор найма квартиры к этому дду отношения не имеет. с таким же успехом вы могли бы подать на возврат расходов по гсм за этот период, которые вы тратили ездя на работу, сославшись на то, что новая квартира ближе, а так вам пришлось поселиться у черта на куличиках и вы потратили тонны бензина, добираясь на работу))) это все глупости... взыщут сугубо неустойку по договору и судебные расходы (если повезет- в полном объеме)