Что значит "квартира под залогом"?

Во-первых что за объявление вы увидели в интернете, в котором сказано, что квартира под залогом?

во-вторых. под залогом - это может значить, что собственник (в данном случае отец) взял кредит и заложил квартиру на случай, если не сможет его погасить. а возможно, что он с кем-то заключил договор ренты - т. е. собственник квартиры теперь не он, но она находится у него в залоге, на случай если плательщик ренты не выполнит перед отцом обязательства. с рентой, как пример крайнего случая. так же залог может быть при аренде или найме - это значить, что если он сдал квартиру и было зарегистрировано обременение (что происходит редко), чтобы он не мог совершать сделки с этой квартирой.

ваша "прописка" вам никаких прав на распоряжение чужим имуществом не даёт. кроме права пользования.