Может ли управляющая компания подавать в суд, если прошло уже три года?

Выставлять может. обратиться в суд может. ваше дело -- не упустить момент и вовремя подать немотивированное возражение в случае вынесения судебного приказа, а когда начнется исковое производство, не забыть попросить суд применить срок исковой давности. а то, что у вас с договором было, придётся доказывать при рассмотрении иска, а истец будет как-то обосновывать свою позицию -- на то и суд, чтобы во всем разобраться.