Нужно ли прописываться (вопрос внутри) в квартире?

Не парьте голову. в одном регионе перепрописка вообще не требуется. никто никогда не докажет (да и кому это надо?) где вы прописаны - может вы ночами живете в другой квартире -
важно - стоят ли счетчики воды в обеих квартирах (как того требует закон, и пока это нам выгодно).
долю свою не вздумайте дарить (продавать) матери - вы ее защита от проходимцев. - ведь прибьют еще за квартиру... хорошо бы еще ренту на вас оформить (но вы сразу становитесь собственником, теряете льготы мамы-пенсионера). кстати дарение вашей доли крайне не дешевое удовольствие через нотариуса.
живите, где хотите - отчитываться ни перед кем не обязаны.
если вы с мамой оба согласны, отнесите заявления в рц с просьбой выписывать отдельные платежные документы (не лицевой счет!!! -его не делят), приложить копию свидетельства. если откажут, можно в суде.