По программе переселения дали квартиру по договору соцнайма. нанимателем является бывший муж. в разводе 6 лет.

Прав. если вы зарегистрировались в данной квартире, значит вы там проживаете. следовательно, должны нести равное бремя оплаты коммунальных услуг. если вы там не проживаете, вы должны быть зарегистрированы по месту жительства. а так вы сейчас хотите и на елку влезть и ж... не ободрать.
и радуйтесь, что бывший супруг требует оплатить коммунальные платежи, а не пошел в суд и не выселяет вас со старшим ребенком, как утративших право проживания на основании длительного отсутствия и неуплаты коммунальных платежей.